Formulierungen

In der klassischen Mechanik existieren drei mathematische Modelle, die zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen genutzt werden. Diese bauen aufeinander auf und stellen jeweils eine Weiterentwicklung oder Verallgemeinerung dar. Jede dieser Formulierungen basiert auf dem Ziel, sogenannte Bewegungsgleichungen zu finden. Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen, deren Lösung den Ort und die Geschwindigkeit einer Masse zu jeder Zeit festlegt.


Newtonsche Gesetze


→ Hauptartikel: Newtonsche Gesetze

Die Newtonschen Gesetze gelten als die Grundlage der klassischen Mechanik, auf der alle weiteren Modelle basieren. Zentrales Konzept dieser Formulierung ist die Einführungen von Kräften, die eine Beschleunigung  einer Masse m hervorrufen. Die Bewegungsgleichung dieser Masse wird bestimmt durch die Überlagerung der Kräfte , die auf die Masse wirken:





Lagrange-Formalismus


→ Hauptartikel: Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus beschreibt die Gesetze der klassischen Mechanik durch die Lagrangefunktion L, die als Differenz aus kinetischer Energie T und potentieller Energie V gegeben ist:

L = T − V

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich durch Anwenden der Euler-Lagrange-Gleichung, die die Ableitungen nach der Zeit t, den Geschwindigkeiten  und den generalisierten Koordinaten qi miteinander in Verbindung setzt:






Hamiltonsche Mechanik


→ Hauptartikel: Hamiltonsche Mechanik
Die Hamiltonsche Mechanik ist die am stärksten verallgemeinerte Formulierung der klassischen Mechanik und Ausgangspunkt der Entwicklung neuerer Theorien und Modelle, wie der Quantenmechanik. Zentrale Gleichung dieser Formulierung ist die Hamilton-Funktion H, die in der klassischen Mechanik durch die Summe aus kinetischer Energie T und potentieller Energie V gegeben ist:

H = T + V

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich durch Anwenden der kanonischen Gleichungen:










Dabei sind qi die generalisierten Koordinaten,  die Geschwindigkeiten, pi die generalisierten Impulse und  deren zeitliche Entwicklung.
Mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus existiert eine modifizierte Form dieser Beschreibung, die die Hamilton-Funktion mit der Wirkung verknüpft.

Wikipedia

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